多维随机变量及其分布¶
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二维随机变量¶
二维随机变量¶
定义¶
设有随机变量 \(E\)，样本空间为 \(S\)，对 \(\forall e \in S\)，有 \(X=X(e),Y=Y(e)\) 为定义上 \(S\) 上的随机变量，由 \(X,Y\) 构成的一个向量 \((X,Y)\) 称为二维随机变量
分布函数¶
- 定义：假设 \((X,Y)\) 为二维随机变量，对 \(\forall x,y \in R\)，有二元函数 \(F(x,y) = P\{(X\le x)\cap (Y \le y)\} = P\{X \le x,Y\le y\}\) 称为 \((X,Y)\) 的分布函数，或称 \(X\) 和 \(Y\) 的联合分布函数
Tip
\[
P\{x_1 < X \le x_2,y_1 < Y \le y_2\} = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) + F(x_1,y_1) - F(x_1,y_2)
\]
-
性质
- \(F(x,y)\) 对于 \(x\) 或 \(y\) 都是不减的
- \(\forall x_2 > x_1,y = y_0 ,F(x_2,y_0) \ge F(x_1,y_0)\)
- \(\forall y_2 > y_1,x = x_0 ,F(x_0,y_2) \ge F(x_0,y_1)\)
- \(0 \le F(x,y) \le 1\)
- \(F(-\infin,y_0) = 0\)
- \(F(x_0,-\infin) = 0\)
- \(F(-\infin,\infin) = 0\)
- \(F(+\infin,+\infin) = 1\)
- \(F(x,y)\) 对 \(x\) 或 \(y\) 均是右连续的
- \(F(x+0,y) = F(x,y)\)
- \(F(x,y+0) = F(x,y)\)
- 对于任意 \((x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1<x_2,y_1<y_2\)，有不等式成立
\[ F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) + F(x_1,y_1) - F(x_1,y_2) \ge 0 \] - \(F(x,y)\) 对于 \(x\) 或 \(y\) 都是不减的
二维离散型随机变量¶
定义¶
若二维随机变量 \((X,Y)\) 的取值为有限个或可列个，记为 \((x_i,y_i)\)，则称 \((X,Y)\) 为二维离散随机变量并称 \(P\{X=x_i,Y=y_i\} = p_{ij}\) 为 \((X,Y)\) 的分布律或 \(X,Y\) 的联合分布律
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
Y | X & x_1 & x_2 & \cdots & x_i & \cdots \\
\hline
y_1 & p_{11} & p_{21} & \cdots & p_{i1} & \cdots \\
y_2 & p_{12} & p_{22} & \cdots & p_{i2} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
y_i & p_{1j} & p_{2j} & \cdots & p_{ij} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\end{array}
\]
性质¶
- \(p_{ij} \ge 0\)
- \(\sum_{i=1}^{\infin}\sum_{j=1}^{\infin} p_{ij} =1\)
- 分布函数 \(F(x,y) = \sum_{x_i\le x}\sum_{y_j\le y} p_{ij}\)
二维连续型随机变量¶
定义¶
若对 \((X,Y)\) 存在非负可积函数 \(f(x,y)\) 使得对于 \(x,y\) 有
\[
F(x,y) = \int_{-\infin}^{y}\int_{-\infin}^{x} f(u,v) \mathrm{d}u\mathrm{d}v
\]
则称 \((X,Y)\) 为连续型随机变量，\(F(x,y)\) 和 \(f(x,y)\) 分别为 \((X,Y)\) 的分布函数和概率密度函数
性质¶
- \(f(x,y) \ge 0\)
- \(\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin} f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = F(+\infin,+\infin) = 1\)
- \(P((X,Y) \in G) = \iint_{G} f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
- 若 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 连续，有
\[
\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y} = f(x,y)
\]
Tip
- 在空间直角坐标系中，\(f(x,y)\) 的图像在 \(xOy\) 平面上方
- \(xOy\) 平面与曲面 \(Z = f(x,y)\) 之间的广义曲顶柱体体积为 \(1\)
- \(P\{(x,y)\in G\}\) 相当于以 \(G\) 为底，\(Z = f(x,y)\) 为顶的曲顶柱体的体积
- \(f(x,y)\) 刻画了 \((X,Y)\) 取值在 \(f(x,y)\) 连续为 \((x,y)\) 附近的概率大小
- \((X,Y)\) 取值在任何一条直线上均为 \(0\)
常见连续型随机变量的分布¶
均匀分布¶
- 定义：设 \(xOy\) 平面上一有界区域 \(G\)，面积为 \(A\)，若二维随机变量的概率密度为
\[
f(x,y) = \left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{A},(x,y)\in G \\
0,\quad \text{otherwise}
\end{array}
\right.
\]
则称 \((X,Y)\) 服从区域 \(G\) 的均匀分布
Tip
- 本质含义：\((X,Y)\) 取值在 \(G\) 的任意小区域的概率与小区域的面积成正比，与小区域的位置及形状无关
- 背景：平面上的几何概型
二维正态分布¶
- 定义：设二维随机变量 \((X, Y)\) 有概率密度函数为
\[
f(x, y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1 - \rho^2}} \exp \left\{ -\frac{1}{2(1 - \rho^2)} \left( \frac{(x - \mu_1)^2}{\sigma_1^2} + \frac{(y - \mu_2)^2}{\sigma_2^2} - \frac{2 \rho (x - \mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2} \right) \right\}
\]
其中 \(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho\) 均为常数，且 \(\sigma_1>0,\sigma_2>0,-1<\rho<1\)，我们的 \((X,Y)\) 为服从参数为 \(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho\) 的二维正态分布，记为 \((X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)
边缘分布¶
边缘分布函数¶
定义¶
设 \((X,Y)\) 为二维随机变量，称 \(F_X(x) = P\{X\le x,y<+\infin\} = F(x,+\infin) = \lim_{y\to +\infin} F(x,y)\) 为随机变量 \(X\) 的边缘分布函数. 随机变量 \(Y\) 的边缘分布函数同理.
离散型随机变量的边缘分布律¶
定理¶
设 \((X,Y)\) 为离散型随机变量，其分布律为 \(P\{X=x_i,Y=y_i\} \stackrel{\wedge}{=} p_{ij} (i,j=1,2,\cdots)\)，则关于 \(X\) 和关于 \(Y\) 的边缘分布律分别为
\[
\begin{array}{l}
P\{X = x_i\} = \sum_{j=1}^{\infin} p_{ij} = p_{i\cdot} \\
P\{Y = y_j\} = \sum_{i=1}^{\infin} p_{ij} = p_{\cdot j}
\end{array}
\]
连续型随机变量的边缘分布¶
定理¶
设 \((X,Y)\) 为连续型随机变量，其概率密度函数为 \(f(x,y)\)，则 \(X,Y\) 均为连续型随机变量，则关于 \(X\) 和关于 \(Y\) 的边缘概率密度分别为
\[
\begin{array}{l}
f_X(x) = \int_{-\infin}^{+\infin} f(x,y) \mathrm{d}y \\
f_Y(y) = \int_{-\infin}^{+\infin} f(x,y) \mathrm{d}x
\end{array}
\]
Tip
- \(F_X(x) = F(x,+\infin)\)
- \(F_{Y}(y) = F(+\infin,y)\)
条件分布¶
\[
P\{Y=y_i\} > 0 \\P\{X\le x|Y = y_i\} = F(x|Y = y_i)
\]
二维离散型随机变量的条件分布律¶
定义¶
设 \((X,Y)\) 为离散型随机变量，其分布律为 \(P\{X=x_i,Y=y_i\} = p_{ij} (i,j=1,2,\cdots)\).
- 对固定的 \(j\)，若 \(P\{Y=y_j\} > 0\)，则称 \(P\{X=x_i|Y = y_j\} = \frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y = y_j\}} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} (i=1,2,\cdots)\) 为 \(X\) 在 \(Y=y_j\) 条件下的条件分布律
- 对固定的 \(i\)，若 \(P\{X=x_i\} > 0\)，则称 \(P\{Y=y_j|X = x_i\} = \frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X = x_i\}} = \frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}} (j=1,2,\cdots)\) 为 \(Y\) 在 \(X=x_i\) 条件下的条件分布律
Tip
- 条件分布的本质就是条件概率，离散型随机变量 \(X\) 在 \(Y = y_j\) 条件下的条件分布律就是将 \(X\) 取每个值的事件 \(X = x_i\) 在 \(Y = y_j\) 发生条件下的条件概率列出来
- 条件分布律的计算即条件概率的计算
- 满足分布律的充要条件
- \(P\{X = x_i | Y= y_j\} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} \ge 0\)
- \(\sum_{i=1}^{\infin} P\{X = x_i | Y= y_j\} = \sum_{i=1}^{\infin} \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} = 1\)
二维连续型随机变量的条件概率密度¶
定义¶
- 给定 \(y\)， \(\forall \varepsilon > 0\)，设 \(P\{y < Y \le y + \varepsilon\} > 0\)，则有
\[
\begin{align*}
P\{X \le x \mid y < Y \le y + \varepsilon \}
&= \frac{P\{X \le x, y < Y \le y + \varepsilon\}}{P\{y < Y \le y + \varepsilon\}} \\
&= \frac{\int_{-\infin}^{x}[\int_{y}^{y+\varepsilon}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x}{\int_{y}^{y+\varepsilon}f_Y(y)\mathrm{d}y}\\
&\approx \frac{\int_{-\infin}^{x}\varepsilon f(x,y)\mathrm{d}x}{\varepsilon f_Y(y)} = \int_{-\infin}^{x} \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} \mathrm{d}x
\end{align*}
\]
- 称 \(F_{X|Y}(x|y) = \int_{-\infin}^{x} \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} \mathrm{d}x\) 为随机变量 \(X\) 在条件 \(Y = y\) 下的条件分布函数
- 称 \(f_{X|Y}(x|y)= \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\) 为随机变量 \(X\) 在条件 \(Y = y\) 下的条件概率密度
条件概率密度性质¶
- \(f_{X|Y}(x|y) \ge 0\)
- \(\int_{-\infin}^{x} f_{X|Y}(x|y) \mathrm{d}x = 1\)
相互独立的随机变量¶
定义¶
设二维随机变量的联合分布函数为 \(F(x,y)\)，边缘分布函数为 \(F(x),F(y)\)，若对所有 \(x,y\)，有 \(F(x,y) = F_X(x)\cdot F_Y(y)\)，则称 \(X\) 和 \(Y\) 是相互独立的
Tip
- 对于离散型随机变量 \((X,Y)\)，有 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立 \(\Leftrightarrow P\{X = x_i| Y = y_j\} = P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}\)，即 \(p_{ij} = p_{i\cdot}\cdot p_{\cdot j}\)
- 对于连续型随机变量 \((X,Y)\)，有 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立 \(\Leftrightarrow f(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y)\)
- 对于二维正态分布的 \((X,Y)\)，有 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立 \(\Leftrightarrow \rho = 0\)
- 若 \(X,Y\) 相互独立，则 \(f(X)\) 与 \(g(Y)\) 也相互独立
两个随机变量的函数的分布¶
离散型随机变量函数的分布¶
结论¶
- 若二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的分布律为 \(P\{X=x_i,Y=y_j\} = p_{ij} (i,j=1,2,\cdots)\)，则随机变量 \((X,Y)\) 的函数 \(Z=g(X,Y)\) 的分布律为
\[
P\{Z = Z_k\} = P\{g(X,Y)=Z_k\} = \sum_{Z_k = g(x_i,y_j)} p_{ij} (i,j=1,2,\cdots)
\]
- 若 \(X \sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2)\) 且 \(X,Y\) 相互独立 \(\Rightarrow X + Y \sim P(\lambda_1+\lambda_2)\)
- 推广：若 \(X_1 \sim P(\lambda_1),X_2\sim P(\lambda_2),\cdots,X_n\sim P(\lambda_n)\) 且 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 相互独立 \(\Rightarrow X_1 + X_2 + \cdots + X_n \sim P(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)\)
- 证明：可知 \(P\{X=i\} = \frac{\lambda_1^ie^{-\lambda_1}}{i!},P\{Y = j\} = \frac{\lambda_2^je^{-\lambda_2}}{j!}\)，则
\[
\begin{align*}
P\{Z=k\} &= P\{X+Y=k\} = \sum_{i=1}^k P\{X=i,Y=k-i\} = \sum_{i=1}^k P\{X=i\}P\{Y=k-i\}\\
&= \sum_{i=1}^k \frac{\lambda_1^ie^{-\lambda_1}}{i!} \cdot\frac{\lambda_2^{k-i}e^{-\lambda_2}}{(k-i)!} = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!} \sum_{i=1}^k \frac{\lambda_1^i\lambda_2^{k-i}k!}{i!(k-i)!} = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!} \sum_{i=1}^k \binom{k}{i} \lambda_1^{i} \cdot \lambda_2^{k-i} \\ &= \frac{(\lambda_1+\lambda_2)^ke^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!}
\end{align*}
\]
- 若 \(X \sim B(n_1,p),Y\sim B(n_2,p)\) 且 \(X,Y\) 相互独立 \(\Rightarrow X + Y \sim P(n_1+n_2)\)
- 推广：若 \(X_1 \sim B(n_1,p),X_2\sim P(n_2,p),\cdots,X_n\sim B(n_k,p)\) 且 \(X_1,X_2,\cdots,X_k\) 相互独立 \(\Rightarrow X_1 + X_2 + \cdots + X_k \sim B(n_1+n_2+\cdots+n_k,p)\)
- 特别的，当 \(n_1=n_2=\cdots=n_k=1\)，即 \(X_i \sim B(1,p)\) 时，\(X_1,X_2,\cdots,X_k\) 独立同分布服从 \(B(1,p)\)，则 \(\sum_{i=1}^{k} X_i \sim B(n,p)\)，即服从 \(B(k,p)\) 的随机变量可作为 \(k\) 个 \(0-1\) 分布随机变量的和
- 证明：可知 \(P\{X=i\} = \binom{n_1}{i}p^iq^{n_1-i}(i=1,2,\cdots),P\{Y = j\} = \binom{n_2}{j}p^jq^{n_2-j}(j=1,2,\cdots)\)，则
\[
\begin{align*}
P\{Z=k\} &= P\{X+Y=k\} = \sum_{i=1}^k P\{X=i,Y=k-i\} = \sum_{i=1}^k P\{X=i\}P\{Y=k-i\}\\
&= \sum_{i=0}^{k}\binom{n_1}{i}p^iq^{n_1-i} \binom{n_2}{k-i}p^{k-i}q^{n_2-k+i} = \sum_{i=0}^{k} \binom{n_1}{i}\binom{n_2}{k-i} p^kq^{n_1+n_2-k}\\
&= \binom{n_1+n_2}{k} p^kq^{n_1+n_2-k}
\end{align*}
\]
连续型随机变量函数的分布¶
- \(Z = X +Y\) 的分布
设 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\)，则 \(Z = X+Y\) 的概率分布函数为
\[
\begin{align*}
F_Z(z) &= P\{Z \le z\} = P\{X+Y \le z\} = \iint_{X+Y\le Z} f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\
&= \int_{-\infin}^{+\infin}(\int_{-\infin}^{z-y}f(x,y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y \stackrel{u=x+y}{=} \int_{-\infin}^{+\infin}(\int_{-\infin}^{z}f(u-y,y)\mathrm{d}u)\mathrm{d}y\\
&= \int_{-\infin}^{z}(\int_{-\infin}^{+\infin}f(u-y,y)\mathrm{d}y)\mathrm{d}u
\end{align*}
\]
固 \(f_Z(z) = \int_{-\infin}^{+\infin}f(z-y,y)\mathrm{d}y = \int_{-\infin}^{+\infin} f(x,z-x)\mathrm{d}x\). 若 \(X,Y\) 相互独立时，\(f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)\)，则
\[
\begin{align*}
f_Z(z) &= \int_{-\infin}^{+\infin}f(z-y,y)\mathrm{d}y = \int_{-\infin}^{+\infin}f_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}y \\&= \int_{-\infin}^{+\infin} f(x,z-x)\mathrm{d}x = \int_{-\infin}^{+\infin}f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x
\end{align*}
\]
- 设 \(M = max\{X,Y\}\)，\(N = min\{X,Y\}\)，\(X,Y\) 相互独立，则
\[
\begin{align*}
F_{max}(z) &= P\{M \le z\} = P\{X\le z,Y \le z\} = F_X(z)F_Y(z)\\
F_{min}(z) &= P\{N \le z\} = 1 - P\{N > z\} = 1 - P\{X > z,Y>z\}\\
&= 1 - P\{X>z\}P\{Y > z\} = 1 - (1-P\{X\le z\})(1-P\{Y \le z\}) \\
&= F_X(z) + F_Y(z) - F_X(z)F_Y(z)
\end{align*}
\]
Tip
推广：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 为 \(n\) 个相互独立的随机变量，它们的分布函数为 \(F_{X_i}(x_i)(i=\overline{1,n})\) 则 \(M = max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\},N=min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\),则
\[
\begin{align*}
F_{max}(z) &= F_{X_1}(z)F_{X_2}(z)\cdots F_{X_n}(z)\\
F_{min}(z) &= 1 - (1-F_{X_1}(z))(1-F_{X_2}(z))\cdots(1-F_{X_m}(z))
\end{align*}
\]
若 \(X_1,X_2,\cdots ,X_n\) 独立同分布，还可得
\[
\begin{align*}
F_{max}(z) &= F_{X}^n(z) \\
F_{min}(z) &= 1 - (1-F_{X}(z))^n
\end{align*}
\]
最后更新:
2024年11月14日 21:30:22
创建日期: 2024年11月14日 21:30:22
创建日期: 2024年11月14日 21:30:22