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基本概念

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引入

  • 确定性现象(必然现象)
    • 在一定条件下，事情没发生前就清楚结果
    • 特征：条件完全决定结果
  • 不确定性现象(随机现象)
    • 具有多种可能结果，但事先不能确定哪一种
    • 特征：条件无法完全决定结果

随机试验

定义：如果对随机现象的试验具有以下三个特点

  1. 可以在相同条件下重复进行
  2. 试验可能结果不唯一，并且事先明确试验的所有可能结果
  3. 试验前不能知道哪种结果会出现

则称这种试验为随机试验，记为 \(E\)

样本空间 随机事件

样本空间

定义：

  • 随机试验的 \(E\) 的所有可能结果组成的集合称为 \(E\) 的样本空间，记为 \(S\)
  • 样本空间的元素，称为样本点，记为 \(Q\)

Tip

  1. 试验不同，样本空间一般不同
  2. 同一试验若目的不同，样本空间也不一定相同

随机事件

定义：样本空间 \(S\) 点子集称为试验 \(E\) 的随机事件，简称事件。通常使用大写字母表示

事件分类

  1. 基本事件：只含一个样本点的单点集
  2. 复合事件：由多个基本事件复合而成的集合
  3. 必然事件：在每次试验中一定发生的事件，即样本空间 \(S\)
  4. 不可能事件：在每次试验中都不发生的事件，即 \(\varnothing\)

事件的关系与运算

  1. 包含：记作 \(A \subset B\)， \(A\) 发生必定使 \(B\) 发生
  2. 相等：记作 \(A = B\)， 即 \((A\subset B)\cap(B\subset A)\)
  3. 和事件
    1. \(A \cup B := \{x|(x\in A)\vee(x\in B)\}\) ，即 \(A\) 与 \(B\) 至少有一个发生
    2. 有限： \(\bigcup_{i=1}^n A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\)
    3. 可列： \(\bigcup_{i=1}^{\infin} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots\)
  4. 积事件
    1. \(A \cap B := \{x|(x\in A)\wedge(x \in B)\}\) ， 即 \(A\) 与 \(B\) 同时发生，可记作 \(A \cdot B\) 或 \(AB\)
    2. 有限： \(\bigcap_{i=1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n\)
    3. 可列： \(\bigcap_{i=1}^{\infin} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots\)
  5. 差事件
    1. \(A - B = \{x|(x\in A) \wedge (x \notin B)\}\)
    2. 差补转化： \(A-B = A \cap \overline{B}\)
  6. 互斥
    1. \(A \cap B = \varnothing\)
    2. 两两互斥： \(\forall i \neq j (A_i \cap A_j = \varnothing) (i,j = 1,2,\cdots)\)
  7. 逆事件
    1. \(A \cup B = S \wedge (A\cap B) = \varnothing\)，记作 \(\overline{A}\)
    2. \(\overline{A} = S - A\)

频率与概率

频率

定义

在相同条件下，进行了 \(n\) 次试验，在这 \(n\) 次试验中，事件 \(A\) 发生的次数 \(n_A\) 称为事件 \(A\) 发生的频数，比值 \(n_A / n\) 称为 \(A\) 发生的频率，并记成 \(f_n(A)\)

Tip

频率描述了事件的频繁程度

性质

  1. \(0 \le f_n(A) \le 1\)
  2. \(f_n(S) = 1\)
  3. 对 \(k\) 个两两互不相容事件 \(A_1,A_2,\cdots,A_k\) 有 \(f_n(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_k) = f_n(A_1) + f_n(A_2) + \cdots + f_n(A_k)\)

Tip

  1. 频率在一定程度上反映了事件 \(A\) 发生的可能性大小，但在一定事件下做多次重复试验，其结果是不一样的，因此不能用频率代替概率，但由大数定律得到频率总能稳定在某个固定数 \(P(A)\) 周围，即 \(f_n(A) \xrightarrow{n \rightarrow \infin} P(A)\)
  2. 不能将概率作为频率的极限

概率

\(A\) 的概率记为 \(P(A)\)，描述 \(A\) 在一次试验中发生可能性的大小的数

统计学定义

当 \(n \rightarrow \infin\) 时， \(f_n(A) = \frac{n_A}{n}\) 趋于稳定值 \(P(A)\)，称 \(P(A)\) 为 \(A\) 的概率

公理化定义

对于 \(E\) 的每一个事件 \(A\) 赋一个实数值 \(P(A)\) 满足：

  1. 非负性： 对任一事件 \(A\)， \(P(A) \ge 0\)
  2. 规范性： \(P(S) =1\)
  3. 可列可加性：设 \(A_1,A_2,\cdots\) 是两两互不相容的事件，即对于 \(\forall A_iA_j = \varnothing (i\neq j),P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots\)

则称 \(P(A)\) 为 A 的概率

性质

  1. \(P(\varnothing) = 0\)
  2. (有限可加性) 若 \(A_1,A_2\cdots A_n\) 为两两互不相容的事件，则有
\[ P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i) \]
  1. 若 \(A \subset B\)，则 \(P(B-A) = P(B) - P(A)\) 且 \(P(B) \ge P(A)\)。而一般情况下， \(P(B-A) = P(B) - P(A\cap B)\)
  2. \(P(A) \le 1\)
  3. \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
  4. (加法公式) \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)
    1. \(P(A_1\cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1A_2) - P(A_1A_3) - P(A_2A_3) + P(A_1A_2A_3)\)
    2. \(P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i) - \sum_{1\le i < j \le n}P(A_iA_j) + \sum_{1\le i < j < k \le n}P(A_iA_jA_k) + \cdots + (-1)^{n-1} P(A_1A_2\cdots A_n)\)

古典概型

古典概型

定义：具有以下特点的试验称为古典概型

  1. 样本空间只包含有限个元素
  2. 每个基本事件发生的可能性相同

即：设 \(S = \{e_1,e_2\cdots e_n\}\) 有 \(P(\{e_1\}) = P(\{e_2\}) = \cdots = P(\{e_n\}) = \frac{1}{n}\)

概率计算

假设事件包含 \(k\) 个样本点， \(A = \{e_{i_1}\} \cup \{e_{i_2}\} \cup \cdots \cup \{e_{i_k}\}\),则 \(P(A) = \frac{k}{n}\)

摸球问题

将 \(n\) 个球放入 \(N(N\ge n)\) 个盒子中

  • \(A = \{指定 n 个 盒子中各有一球\},P(A) = \frac{A_n^n}{N^n}\)
  • \(B=\{某一指定盒子中有一球\},P(B)=1-\frac{(N-1)^n}{N^n}\)
  • \(C = \{某一指定盒子中有 k 个球\}，P(C)=\frac{C_n^k\cdot(N-1)^{n-k}}{N_n}\)
  • \(D=\{每盒至多一球\},P(D)=\frac{A_N^n}{N^n}\)

超几何概型

\(N\) 件产品，其中 \(D\) 件次品，从中任取 \(n\) 件，设 \(A\) 为恰有 \(k\) 件次品，则

\[ P(A) = \frac{C_D^k\cdot C_{N-D}^{n-k}}{C_N^n} \]

几何概型

定义：随机试验的样本空间为某个区域，随机实验为向区域 \(D\) 投点，如果投中 \(D\) 的任意区域 \(A\) 的可能性大小与子区域 \(A\) 的度量 \(S(A)\) 成正比，与 \(A\) 的形状和位置无关，称为几何概型

\[ P(A) = \frac{S(A)}{S(n)} \]

Tip

古典概型与几何概型的异同

古典概型：

  • 样本有限
  • 等可能， \(P(\{e_i\}) = \frac{1}{n}\)

几何概型：

  • 样本点连续无限
  • 等可能， \(P(\{e_i\}) = 0\)

条件概率

定义

设 \(A,B\) 为两个事件，且 \(P(A) > 0\) ，称

\[ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{AB}{A} \]

为 \(A\) 发生的条件下 \(B\) 发生的条件概率

乘法定理

设 \(P(A) > 0\) ，则

\[ P(AB) = P(B|A)P(A) \]

一般的，

\[ P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1}) P(A_{n-1}|A_1A_2\cdots A_{n-2})\cdots P(A_1) \]

样本空间的划分

设 \(S\) 为试验 \(E\) 的样本空间，\(B_1,B_2,\cdots,B_n\) 为 \(E\) 的一组事件，若

  1. \(B_iB_j \neq \varnothing(i\neq j)\)
  2. \(B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n =S\)

则称 \(B_1,B_2,\cdots,B_n\) 为样本空间的一个划分或完备事件组

全概率公式

\[ P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i) \]

贝叶斯公式

\[ P(B_i | A) = \frac{P(AB_i)}{P(A)} = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)} \]

独立性

定义

设 \(A,B\) 是两事件，如果满足

  • \(P(AB) = P(A)P(B)\)

则称事件 \(A,B\) 相互独立，简称 \(A,B\) 独立

Tip

  1. 若 \(A\) 与 \(B\) 独立，则 \(\overline{A}\) 与 \(B\)， \(A\) 与 \(\overline{B}\)， \(\overline{A}\) 与 \(\overline{B}\) 相互独立
  2. 若 \(P(A) > 0\)，则 \(A,B\) 独立 \(\Leftrightarrow P(B|A) = P(B)\)
  3. 若 \(0 < P(A) < 1\)，则 \(A,B\) 独立 \(\Leftrightarrow P(B|A) = P(B|\overline{A})\)
  4. 若 \(P(A)>0,P(B)>0\)，则 \(A,B\) 相互独立与 \(A,B\) 互不相容不能同时成立
  5. 存在既独立又互斥的事件

多个事件的相互独立性

  • \(A,B,C\) 相互独立当且仅当
\[ \left\{ \begin{array}{l} P(AB) = P(A)P(B) \\ P(AC) = P(A)P(C) \\ P(BC) = P(B)P(C) \\ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) \end{array} \right. \]
  • 设 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 为 \(n\) 个事件，若等式
\[ \forall k \in \{2,3,\cdots,n\}\forall 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k <n,P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k}) = P(A_{i_1})\cdot P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}) \]

均成立，则称 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 相互独立

推广

  • 若 \(n\) 个事件 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 相互独立，则其中任意 \(k(2\le k \le n)\) 个事件也独立
  • 若 \(n\) 个事件 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 相互独立，则将其中任意多事件换成它们各自对应的对立事件，所得 \(n\) 个事件仍独立

试验的独立性

  • 两个试验 \(E_1,E_2\) 相互独立，当且仅当 \(E_1\) 中任一事件与 \(E_2\) 中任一事件相互独立
  • \(n\) 个试验 \(E_1,E_2,\cdots,E_n\) 相互独立，当且仅当 \(E_1, E_2, \cdots, E_n\) 各任一事件之间相互独立，若 \(n\) 个试验相同，则称为 \(n\) 重独立重复试验
最后更新: 2024年11月14日 21:30:22
创建日期: 2024年11月14日 21:30:22