通用概念¶
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1. 逻辑符号¶
| 符号 | 含义 | 解释 |
|---|---|---|
| \(\neg\) | 非 | \(\neg p\),表示\(p\)的否命题 |
| \(\wedge\) | 与 | \(p\wedge q\),表示\(p\)与\(q\)同时成立 |
| \(\vee\) | 或 | \(p \vee q\),表示\(p\)与\(q\)至少一个成立 |
| \(\Rightarrow\) | 蕴含 | \(p \Rightarrow q\),表示\(p\)为\(q\)的充分条件 |
| \(\Leftrightarrow\) | 等价 | \(p \Leftrightarrow q\),表示\(p\)等价于\(q\) |
2. 集合¶
2.1 性质¶
- 集合可由任何有区别的对象组成
- 集合由其组成对象整体唯一确定
- 任何性质都确定一个具有该性质的对象的集合
2.2 表示¶
- \(x\)为一个对象,\(P(x)\)示\(x\)具有性质\(P\),则用\(\{x|P(x)\}\)表示集合
- 用\(\{x_1,x_2,...,x_n\}\)表示集合
- 单元素集合\(\{a\}\)在不引起歧义时,可用\(a\)表示
2.3 包含关系¶
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \(x \in X\) | x属于X |
| \(x \notin X\) | x不属于X |
| \(A = B\) | A等于B.即\(\forall x((x \in A) \Leftrightarrow(x \in B))\)或\((A \subset B)\wedge(B \subset A)\) |
| \(A \subset B\) | A包含于B.即\(\forall x ((x \in A)\Rightarrow(x \in B))\) |
注:空集可表示为 \(\varnothing := \{x \in M|x \neq x\}\)
2.4 集合运算¶
| 运算 | 符号 | 含义 |
|---|---|---|
| 并集 | \(A \cup B\) | \(A \cup B := \{(x \in A)\vee (x \in B)\}\) |
| 交集 | \(A \cap B\) | \(A \cap B := \{(x \in A)\wedge (x \in B)\}\) |
| 差集 | \(A \backslash B\) | \(A \backslash B := \{(x \in A)\wedge (x \notin B)\}\) |
2.5 笛卡尔积¶
集合\(X \times Y := \{(x,y)|(x\in X)\wedge(y \in Y)\}\)称为集合\(X\),\(Y\)的笛卡尔积或直积,其中形如\((x,y)\)的二元组称为序偶.\(X \times X\)简记为\(X^2\).
设序偶\((x_1,x_2)\)为集合\(X_1\)与\(X_2\)的直积\(Z = X_1 \times X_2\)的元素.\(x_1\)称为序偶\(z\)的第一投影\(\mathrm{pr_1} z\),\(x_2\)称为序偶\(z\)的第二投影\(\mathrm{pr_2} z\).同时称为序偶\(z\)的坐标
3. 函数¶
3.1 概念¶
如果集合\(X\)中每个元素\(x\)都按照某规律\(f\)与集合\(Y\)的元素\(y\)相对应,我们就说有一个函数,它定义于\(X\)并取值于\(Y\). 其中\(X\)称为定义域,\(x\)的具体值\(x_0\)所对应的具体值\(y_0\)称为\(x_0\)上或\(x=x_0\)时的函数值.量\(y=f(x)\)称为因变量.
称为函数的值域
3.2 符号¶
- \(f:X \rightarrow Y,X \stackrel{f}{\rightarrow} Y,x\mapsto f(x),y=f(x)\) 函数\(f\),定义于\(X\)并取值于\(Y\)
- \(f_1=f_2\) 函数相同或相等
- \(f|A,f|_A\) 函数\(f\)在集合A上的收缩,相反,\(f\)为函数\(f|_A\)在集合\(X\)上的延拓
3.3 映射的简单分类¶
当函数\(f:X\rightarrow Y\)称为映射时,它在\(x \in X\)上的值\(f(x) \in Y\)通常称为元素\(x\)的像.而集合\(A \subset X\)中各种像的集合
称为集合\(A\)的像.而集合\(X\)中以集合\(B \subset Y\)中各元素为像的元素的集合
称为集合B的原像.
| 分类 | 解释 |
|---|---|
| 满射 | \(f(X)=Y\),即值域等于到达域 |
| 单射 | 对于集合\(X\)中的任何元素\(x_1,x_2\)有\((f(x_1)=f(x_2))\Rightarrow (x_1=x_2)\) |
| 双射 | 既是满射也是双射 |
如果存在映射\(f:X\rightarrow Y\)为双射,自然存在一个映射
称为原映射\(f\)的逆映射.
3.4 函数的复合与互逆映射¶
如果在映射\(f:X\to Y\)与映射\(g:Y\to Z\)中,\(g\)定义于\(f\)的值域,就可以构造一个新的映射,称为映射\(f\)与\(g\)的复合映射
在集合X的元素上的值为
复合运算满足结合律,即:\(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\)
如果复合映射\(f_1\circ f_2 \circ ... \circ f_n\)中所有项都相同并等于\(f\),则简记为\(f^n\)
即使\(f \circ g\)与\(g \circ f\)都有定义,一般也不相等,即不满足交换律:\(g \circ f = f \circ g\)
使集合\(X\)的每个元素与自身相对应的映射\(f: X \to X\),即映射\(x \stackrel{f}{\mapsto} x\),记作\(e_X\)并称为集合\(X\)的恒等映射.
引理 3.4.1¶
命题 3.4.1¶
映射\(f:X \to Y,g:Y\to X\)当且仅当\(g \circ f = e_X,f \circ g = e_Y\)时,才为互逆的双射
3.5 作为关系的函数·函数的图像¶
3.5.a 关系¶
序偶\((x,y)\)的任何集合称为关系\(R\).第一个元素\(x\)的集合\(X\)称为关系\(\mathcal R\)的定义域,第二个元素\(y\)的集合\(Y\)称为关系\(\mathcal R\)的值域.
常把\((x,y)\in \mathcal R\)写作\(x\mathcal Ry\),并\(x\)与\(y\)之间的关系为\(\mathcal R\).
如果\(\mathcal R \subset X^2\),就说在X上给定了关系\(\mathcal R\).
偏序关系: 记为\(a \preceq b\)
性质：
- \(a \preceq a\) (自反性)
- \((a \preceq b) \wedge (b \preceq c) \Rightarrow a \preceq c\) (传递性)
- \((a \preceq b) \wedge (b \preceq a) \Rightarrow a = b\) (反对称性)
序关系: 记为\(a \le b\)
性质：
- 同偏序
- 同偏序
- 同偏序
- \(\forall a \forall b ((a\le b)\vee(b \le a))\)
3.5.b 函数与函数图像¶
满足\((xRy_1)\wedge(xRy_2) \Rightarrow (y_1=y_2)\)的关系\(R\)称为函数关系,亦称函数. 对于按照最初描述来理解的函数\(f:X \to Y\),由一切形如\((x,f(x))\)的元素形成的集合\(\Gamma\)称为该函数的图像.
4. 补充¶
4.1 集合的势(基数类)¶
如果集合\(X\)到集合\(Y\)的双射存在,则称集合X与集合Y等势. 记为\(X \sim Y\),称为等价关系.
集合\(X\)所在的类称为集合\(X\)的势或基数类,记为\(card\ X\).如果\(X \sim Y\),即可以写出\(card\ X = card\ Y\).
如果集合\(X\)和集合\(Y\)的某个子集等式,我们就说集合\(X\)的基数类不大于集合\(Y\)的基数类,并记为\(card\ X \le card\ Y\).于是:
如果集合\(X \subset Y\),则显然\(card\ X \le card\ Y\).然而,结果表明,关系\(X \subset Y\)并不影响\(card\ Y \le card\ X\),即使\(X\)是\(Y\)的真子集也如此.
一个集合能够和自己的一部分等势,就称为无限集,否则为有限集.
性质:
- \((card\ X \le card\ Y) \wedge (card\ Y \le card \ Z) \Rightarrow (card\ X \le card\ Z)\)
- \((card\ X \le card\ Y) \wedge (card\ Y \le card \ X) \Rightarrow (card\ X = card\ Y)\) (施罗德-伯恩斯坦定理)
- \(\forall X \forall Y(card\ X \le card\ Y) \vee (card\ Y \le card\ X)\) (康托尔定理)
可知基数类是线性有序的.
如果\(card\ X \le card\ Y\),同时\(card\ X \ne card\ Y\),就说集合\(X\)的势小于集合\(Y\)的势,并记为\(card\ X < card\ Y\).于是,
定理:
4.2 公理化集合论¶
1.外延公理
集合\(A\)和集合\(B\)相等,当且仅当它们所具有的各元素是相同的.
2.分离公理
任何集合\(A\)和性质\(P\)都对应一个集合B,其元素仅是\(A\)中具有性质\(P\)的各元素.
即:如果\(A\)是一个集合,则\(B = \{x\in A|P(x)\}\)也是一个集合.
由分离公理可知空集\(\varnothing\)唯一.
还可知,如果\(A\)和\(B\)为一个集合,则集合\(A\backslash B = \{x \in A|x \notin B\}\)也为一个集合.\(M\)为一个集合,A为它的子集,则\(C_M A\)也为一个集合.
3.并集公理
对于集合的任何元素M,存在一个被称为集合M的并集的\(\cup M\),其元素是且仅是M的元素所包含的那些元素.
常见表述:由集合族中诸集合的元素组成的集合是存在的.因此,集合并集是一个集合,并且:
有了并集公理和分离公理,我们就能够把集合\(M\)的交集定义为集合
4.配对公理
对于任何集合\(X\)和\(Y\),存在一个集合\(Z\),其元素仅为\(X\)和\(Y\)
集合\(Z\)记为\(\{X,Y\}\),称为集合\(X\)与\(Y\)的无序偶
5.子集之集公理
对于任何一个集合\(X\),存在一个集合\(\mathcal{P}(X)\),其元素仅为\(X\)各子集
设\(x \in X\),\(y \in Y\),则现在可以验证,序偶\((x,y)\)确实构成集合
\(X\)的后继集\(X^{+}\)定义为:\(X^+ = X \cup \{X\}\)
此外,如果一个集合包含空集以及自身任何一个元素的后继集,我们就称该集合为归纳集.
6.无穷公理
归纳集存在
由1-4与5可建立自然数集\(N_0\)的标准模型:把\(N_0\)定义为各归纳集的交集,即为最小归纳集.\(N_0\)的元素为
它们就是被我们用1,2,3,···所表示的称为自然数的对象的模型.
7.替换公理
设\(\mathcal{F}(x,y)\)是以下命题:对于集合\(X\)中的任何一个元素\(x_0\),存在唯一的对象\(y_0\),使得\(\mathcal{F}(x,y)\)成立.那么,满足以下条件的对象\(y\)组成一个集合:存在\(x \in X\),使得\(\mathcal{F}(x,y)\)成立
公理1.-7.组成集合论公理系统,即ZF公理系统.
8.选择公理
对于任何由互不相交非空集合组成的集合族,存在集合\(C\),使得对于该集合族中的任何集合\(X\),集合\(X\cap C\)只由一个元素组成
换句话说,恰好可以从集合族的每个集合中选出一个代表元素并由它们组成集合\(C\)
加上8.之后,就是ZFC公理系统.
4.3 数学命题的结构与集合论语言表述¶
4.3.1 命题初等逻辑运算¶
- 在某些命题之前写出否定词并把结果置于括号中,从而构成新命题;
- 在两个命题之间写出必要的连词\(\wedge\),\(\vee\),\(\Rightarrow\)并把结果置于括号内,从而构成新命题.
- 构成命题"对于任何对象\(x\),性质\(P\)成立"(记为\(\forall x P(x)\))或命题"存在对象\(x\),性质\(P\)成立"(记为\(\exist x P(x)\))
4.3.2 缩写记号¶
- \(\exist !x \ P(x) := \exist x\ (P(x)\wedge\forall y(P(y)\Rightarrow y=x))\)
- \((\forall x \in X)\ P := \forall x \ (x\in X \Rightarrow P(x))\)
- \((\exist x \in X)\ P := \exist x \ (x\in X \wedge P(x))\)
- \((\forall x > a)\ P := \forall x \ (x\in \mathbb{R} \wedge x>a \Rightarrow P(x))\)
- \((\exist x > a)\ P := \exist x \ (x\in \mathbb{R} \wedge x>a \wedge P(x))\)
Example
4.3.3 否命题¶
存在与任意的转化
\(\neg\exist x \ P(x) \Leftrightarrow \forall x \ \neg P(x)\)
\(\neg\forall x \ P(x) \Leftrightarrow \exist x \ \neg P(x)\)
德摩根律与析取和蕴含的转化
\(\neg(P\wedge Q)\Leftrightarrow\neg P\ \vee \ \neg Q\)
\(\neg(P\vee Q)\Leftrightarrow\neg P\ \wedge \ \neg Q\)
\(\neg(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P\ \wedge \ \neg Q\)