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实数

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1.实数系的公理系统和某些一般性质

1.1 实数集的定义

如果以下四组条件成立,则集合\(\mathbb{R}\)称为实数集,其元素称为实数，这些条件称为实数公理系统.

(\(\mathrm{I}\)) 加法公理

定义了一个映射(加法运算)

\[ +:\R + \R \rightarrow \R \]

使得\(\R\)中元素\(x,y\)中的每个序偶\((x,y)\)与某元素\(x+y\in \R\)相对应,后者称为\(x\)与\(y\)的和,并且以下条件成立:

  1. 中性元素\(0\)(在加法中称为零元素或零)存在,并且对于任何\(x \in \R\),
\[ x+0=0+x=x \]
  1. 对于任何元素\(x\in \R\),元素\(-x\)存在,称为\(x\)的相反元素,它满足,
\[ x+(-x) = (-x)+x = 0 \]
  1. 运算\(+\)满足结合律,即对于\(\R\)中任何元素\(x,y,z\)满足,
\[ x+(y+z) = (x+y)+z \]
  1. 运算\(+\)满足交换律,即对于\(R\)中任何元素\(x,y\)满足,
\[ x+y = y+x \]

如果在某集合\(G\)上定义了满足公理\(1_+,2_+,3_+\)的运算,我们就说在\(G\)是给定了群结构,即\(G\)是群.如果称该运算为加法,就称这个群为加法群.如果除此之外,还知道该运算满足交换律,即条件\(4_+\)成立,就称这个群为交换群或阿贝尔群.所以\(\R\)为加法阿贝尔群.

(\(\mathrm{II}\)) 乘法公理

定义了一个映射(乘法运算)

\[ \bullet:\R \times \R \rightarrow \R \]

使得\(\R\)中元素\(x,y\)中的每个序偶\((x,y)\)与某元素\(x·y\in \R\)相对应,后者称为\(x\)与\(y\)的积,并且以下条件成立:

  1. 中性元素\(1\in \R \backslash0\)(在乘法中称为单位元素或一)存在,并且,
\[ \forall x \in \R ,x\cdot 1=1\cdot x = x \]
  1. 对于任何元素\(x \in \R\backslash0\),元素\(x_{}^{-1}\in \R\)存在,称为\(x\)的逆元素,满足,
\[ x \cdot x_{}^{-1} = x_{}^{-1} \cdot x = 1 \]
  1. 运算\(\bullet\)满足结合律,即对于\(\R\)中任何元素\(x,y,z\)满足,
\[ x\cdot(y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z \]
  1. 运算\(\bullet\)满足交换律,即对于\(R\)中任何元素\(x,y\)满足,
\[ x \cdot y = y\cdot x \]

于是我们可以验证集合\(\R\backslash 0\)对于乘法运算是群

(\(\mathrm{I}\),\(\mathrm{II}\)) 加法与乘法的联系

乘法相对于加法满足分配律,即\(\forall x,y,z\in\R\),

\[ (x+y)\cdot z = x\cdot z +y\cdot z \]

如果在某集合\(G\)上定义了满足上述全部公理的两种运算,则\(G\)称为代数域,简称域.

(\(\mathrm{III}\)) 序公理

\(\R\)的元素之间存在关系\(\le\),即对于\(\R\)的元素\(x,y\),可以确定\(x\le y\)是否成立.此时,以下条件成立:

  1. \(\forall x \in \R \ (x\le x)\)
  2. \((x \le y)\wedge(y\le x)\Rightarrow(x=y)\)
  3. \((x\le y)\wedge(y\le z)\Rightarrow(x\le z)\)
  4. \(\forall x \in \R \ \forall y \in \R\ (x\le y)\vee (y \le x)\)

\(\R\)中的关系\(\le\)称为不等关系.

如果一个集合某些元素之间的关系，满足公理\(0_\le,1_\le,2_\le\),则该集合就称为偏序集;如果除此之外还满足公理\(3_\le\),即集合的任何两个元素都是可比较的,该集合就称为线性序集

(\(\mathrm{I}\),\(\mathrm{III}\)) 加法和序关系的联系

如果\(x,y,z\)是\(\R\)的元素,则

\[ (x\le y) \Rightarrow (x+z\le y+z) \]

(\(\mathrm{II}\),\(\mathrm{III}\)) 乘法和序关系的联系

如果\(x,y,z\)是\(\R\)的元素,则

\[ (0\le x)\wedge (0\le y)\Rightarrow(0 \le x\cdot y) \]

(\(\mathrm{IIII})\) 完备性公理

如果\(X\)与\(Y\)是\(\R\)的非空子集,并且对于任何元素\(x\in X,y\in Y\)有\(x\le y\),则存在\(c\in \R\),使得对于任何元素\(x\in X,y\in Y\)有\(x\le c \le y\).

可以认为满足这些公理的任何集合\(\R\)是实数的一种表示,即通常所说的实数模型

1.2 实数的某些一般的代数性质

以下将说明如何从上述公理得到数的那些众所周知的性质

a.加法公理的推论

  1. 在实数集中只有唯一的零元素.
证明

如果\(0_1\)与\(0_2\)都是\(\R\)中的零,则根据零的定义

\[ 0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2 \]
  1. 在实数集中,每个元素有唯一的相反元素
证明

如果\(x_1\)与\(x_2\)都是\(x\in\R\)的相反元素,则

\[ x_1=x_1+0=x_1+(x+x_2)=(x_1+x)+x_2=0+x_2=x_2 \]
  1. 方程\(a+x=b\)在\(\R\)中有唯一解\(x=b+(-a)\)
证明

得自每个元素有唯一的相反元素:

\[ \begin{equation*} \begin{split} (a+x = b ) & \Leftrightarrow ((x+a)+(-a)=b+(-a))\\ & \Leftrightarrow (x+(a+(-a))=b+(-a))\\ & \Leftrightarrow (x+0=b+(-a))\\ & \Leftrightarrow x=b+(-a)\\ \end{split} \end{equation*} \]

表达式\(b+(-a)\)也可写为\(b-a\)的形式

b.乘法公理的推论

  1. 在实数集中只有唯一的单位元素
  2. 每个数\(x\neq0\)只有唯一的逆元素(倒数)\(x^{-1}\)
  3. 方程
\[ a\cdot x =b \]

在\(a\in \R\backslash 0\)时有唯一解

\[ x = b\cdot a^{-1} \]

c.加法和乘法联系公理的推论

  1. 对于任何\(x\in\R\)
\[ x\cdot 0 = 0\cdot x = x \]
证明
\[ (x\cdot 0 = x\cdot (0+0)=x\cdot 0+x\cdot 0)\Rightarrow (x\cdot 0 = x\cdot 0+(-(x\cdot 0))=0) \]

可以看出,若\(x\in \R\backslash0\),则\(x^{-1}\in \R\backslash0\).

  1. \((x\cdot y=0)\Rightarrow(x=0)\vee(y=0)\)
证明

例如,如果\(y\neq0\),则根据关于\(x\)的方程\(x\cdot y =0\)的解的唯一性,我们求出\(x=0\cdot y^{-1}=0\).

  1. 对于任何\(x\in\R\),
\[ -x=(-1)\cdot x \]
证明

\(x+(-1)\cdot x = (1+(-1))x=0\cdot x = x\cdot 0 =0\),再由相反元素的唯一性得出结论.

  1. 对于任何\(x\in\R\),
\[ (-1)(-x) = x \]
证明

得自3.和\(-x\)的相反元素唯一性.

  1. 对于任何\(x\in\R\),
\[ (-x)(-x) = x\cdot x \]
证明
\[ \begin{equation*} \begin{split} (-x)(-x) & = ((-1)\cdot x)(-x) --推论3\\ & = (x\cdot(-1))(-x)--交换律\\ & = x((-1)(-x))--结合律\\ & = x\cdot x -- 推论4 \end{split} \end{equation*} \]

d.序公理的推论

关系\(x\le y\)也可写为\(y \ge x\);当\(x\neq y\)时,关系\(x\le y\)写为\(x<y\),称为严格不等式.

  1. 对于任何\(x,y\in\R\)，在以下关系中恰好只有一个关系成立:
\[ x<y,x>y,x=y. \]
证明

得自严格不等式的定义以及公理\(1_\le\),\(3_\le\).

  1. 对于\(\R\)中的任何数\(x\),\(y\),\(z\),
\[ \begin{array}{c} (x<y)\wedge(y\le z)\Rightarrow(x<z)\\ (x\le y)\wedge(y<z)\Rightarrow(x<z) \end{array} \]
证明

根据不等关系的传递性公理\(2_{\le}\),我们有

\[ (x\le y)\wedge(y<z)\Leftrightarrow(x\le y)\wedge(y\le z)\wedge(y\neq z)\Rightarrow(x\le z) \]

剩余任务是验证\(x\neq z\),但在相反情况下,

\[ (x\le y)\wedge(y < z)\Leftrightarrow(z\le y)\wedge(y<z)\Leftrightarrow(z\le y)\wedge(y\le z)\wedge(y\neq z) \]

根据公理\(1_{\le}\),由此可知

\[ (y=z)\wedge(y\neq z) \]

这是矛盾.

加法和乘法与序关系的联系公理的推论

  1. 对于\(\R\)中的任何数\(x\),\(y\),\(z\),\(w\),
\[ \begin{array}{c} (x<y) \Rightarrow (x+z)<(y+z)\\ (0<x) \Rightarrow (-x<0)\\ (x) \end{array} \]
最后更新: 2023年9月25日 23:20:23
创建日期: 2023年9月5日 20:31:13