前缀和与差分

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前缀和

一维前缀和

对于一个数列 \(A\) ,它的前缀和定义为:

\[ S_i = \sum_{j=1}^i A_j \]

部分和,即某区间内数列 \(A\) 的和,可表示为前缀和相减的形式:

\[ \mathrm{sum}(l,r) = \sum_{i=1}^r A_i = S_r - S_{l-1} \]

二维前缀和

一种新型的激光炸弹,可以摧毁一个边长为 \(R\) 的正方形内的所有的目标.现在地图上有 \(N(N\le 10^4)\) 个目标, 用整数 \(X_i,Y_i \ (0\le X_i \le Y_i\le5000)\) 表示目标在地图上的位置,每个目标都有一个价值 \(W_i\).

激光炸弹的投放是通过卫星定位的,但其一个缺点,就是其爆破范围,即那个边长为 \(R\) 的正方形的边必须与 \(x,y\) 轴平行.若目标位于爆破正方形的边上,该目标不会被摧毁.求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标.

对于这题,我们可以建立一个二维数组 \(A\) ,其中 \(A[i][j]\) 就等于位置 \((i,j)\) 上所有目标的价值之和.即对于每个目标:

\[ A[i][j] = \sum_i W_i \]

接着我们求出 \(A\) 的二维前缀和 \(S\), 即:

\[ S[i][j] = \sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j A[i][j] \]

如图:

S[i-1][j]

S[i][j-1]

S[i-1][j]+S[i][j-1]

S[i-1][j]+S[i][j-1]-S[i-1][j-1]

容易得出以下递推式:

\[ S[i][j] = S[i-1][j] + S[i][j-1] - S[i-1][j-1] + A[i][j] \]

同理,任意一个边长为 \(R\) 的正方形, 我们有:

\[ \sum_{x=i-R+1}^i \sum_{y=j-R+1}^j A[x][y] = S[i][j] - S[i-R][j] - S[i][j-R] + S[i-R][j-R] \]

因此只需 \(\Omicron(n^2)\) 递推求出二位前缀和 \(S\) ,然后 \(\Omicron(n^2)\) 枚举边长为 \(R\) 的正方形的右下角坐标 \((i,j)\) ,即可通过上式 \(\Omicron(1)\) 计算出该正方形内所有目标的价值之和.这实际上为"容斥定理"的应用.

代码如下:

int martix_pre_sum[5010][5010];

int main()
{
    int r, n;

    scanf("%d%d", &n, &r);

    r = min(r,5001);

    int x, y, w;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &w);
        martix_pre_sum[++x][++y] += w;
    }

    for (int i = 1; i <= 5001; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= 5001; j++)
        {
            martix_pre_sum[i][j] = martix_pre_sum[i - 1][j] + martix_pre_sum[i][j - 1] - martix_pre_sum[i - 1][j - 1] + martix_pre_sum[i][j];;
        }
    }

    int res = 0;
    for(int i=r;i<=5001;i++)
    {
        for(int j=r;j<=5001;j++)
        {
            res = max(res,martix_pre_sum[i][j]-martix_pre_sum[i-r][j]-martix_pre_sum[i][j-r]+martix_pre_sum[i-r][j-r]);
        }
    }

    printf("%d",res);

    return 0;
}

差分

对于一个给定的数列 \(A\),它的差分序列 \(D\) 定义为:

\[ \begin{align*} B_1 =& A_1\\ B_i =& A_i - A_{i-1} \end{align*} \]

可知差分与前缀和是一对互逆运算,差分序列 \(B\) 的前缀和序列就是原序列 \(A\) ,前缀和 \(S\) 的差分序列也是原序列 \(A\).

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最后更新: 2024年11月14日 21:30:17
创建日期: 2024年11月14日 21:30:17